La faktoring algebarskog izraza To je postupak kojim se navedeni izraz zapisuje kao množenje jednostavnijih faktora. drugim riječima, prilikom faktoringa polinoma, cilj je pronaći pojmove koji, kada se pomnože, rezultiraju istim algebarskim izrazom porijekla.
Ovaj proces je od najveće važnosti u algebri, jer omogućava da se jednačine pojednostave i učine mnogo lakšima za upravljanje. Nadalje, jedan od najvažnijih ciljeva prilikom faktoringa polinoma je da se on predstavi kao proizvod drugih polinoma nižeg stepena.
Da bismo bolje razumjeli koncept, razmotrimo osnovni primjer:
algebarski izraz: x(x + y)
Množenjem članova ovog izraza dobijamo:
x2 +xy
Na ovaj način: x(x + y) = x2 +xy
La faktoring Koristan je ne samo zato što pojednostavljuje rješavanje problema, već zato što vam omogućava da identificirate svojstva i odnose između pojmova algebarskog izraza.
Zajednički faktor
Prije nego što počnete s tehnikama faktorizacije, bitno je razumjeti šta taj pojam znači. zajednički faktor. Tragajući za zajedničkim faktorom unutar polinoma, želimo da identifikujemo pojam koji se ponavlja u svim terminima izraza, što nam omogućava da ga pojednostavimo.
Međutim, važno je napomenuti da faktoring nije uvijek moguć. Da bi se faktorizirao, mora postojati barem jedan zajednički termin s kojim se može raditi. Inače se ne može dalje pojednostavljivati.
Na primjer, u izrazu:
xa + yb + zc
Ne postoje zajednički faktor između pojmova, pa se faktorizacija ne može izvršiti.
Pogledajmo još jedan slučaj u kojem je to izvodljivo:
a2x + a2y
Zajednički faktor ovdje je a2. Radi jednostavnosti, oba pojma dijelimo ovim zajedničkim faktorom:
- a2x je podijeljen sa a2, što daje x
- a2y je podijeljen sa a2, šta daje i
Konačno, faktorski izraz je:
a2(x+y)
Korištenje zajedničkog faktora u faktoringu polinoma
U mnogim slučajevima, neki termini polinoma će imati a zajednički faktor, dok drugi ne. U ovim scenarijima, ono što bi trebalo učiniti je a grupisanje termina, tako da grupirani pojmovi dijele zajednički faktor.
Na primjer, u izrazu:
xa + ya + xb + yb
Termine možemo grupirati na različite načine:
(xa + ya) + (xb + yb)
Ako analiziramo grupisane pojmove, možemo uočiti zajednički faktor u svakoj grupi:
a(x + y) + b(x + y)
Konačno, možemo faktorisati izraz na sljedeći način:
(x + y)(a + b)
Ova tehnika se naziva „faktorizacija grupisanja“ i omogućava vam da pojednostavite polinome čak i kada svi pojmovi nemaju isti zajednički faktor. Treba napomenuti da postoji više od jednog načina grupisanja, a rezultat će uvijek biti isti. Na primjer, u ovom istom slučaju, mogli smo grupirati pojmove na sljedeći način:
(xa + xb) + (ya + yb)
Što opet vodi do:
x(a + b) + y(a + b)
Na kraju dobijamo isti rezultat:
(a + b)(x + y)
Ovaj proces je podržan komutativnim zakonom, koji kaže da redoslijed faktora ne mijenja konačni proizvod.
Napredne metode: Faktoring korištenjem značajnih proizvoda
Postoje i druge metode faktoriranja polinoma, među kojima je i izuzetnih proizvoda. Najčešći zapaženi proizvodi su trinom savršenog kvadrata y el trinom oblika x2 + b x + c. Postoje i drugi značajni proizvodi, ali oni se više primjenjuju na binome.
Savršeni kvadratni trinom
Un trinom savršenog kvadrata To je polinom sastavljen od tri člana, koji je rezultat kvadriranja binoma. Pravilo kaže da proces slijedi ovu strukturu: kvadrat prvog člana, plus dva puta prvi član puta drugi član, plus kvadrat drugog člana.
Da bismo činili trinom savršenog kvadrata, slijedimo ove korake:
- Izvlačimo kvadratni korijen prvog i trećeg člana.
- Odvajamo korijene znakom koji odgovara drugom pojmu.
- Formiramo binom koji se formira u kvadrat.
Pogledajmo primer:
4a2 – 12ab + 9b2
- kvadratni korijen od 4a2: 2a
- kvadratni korijen od 9b2: 3b
Trinom je faktorisan kao:
(2a – 3b)2
Trinom oblika x2 + b x + c
Ovaj tip trinoma ima specifične karakteristike koje mu omogućavaju da se lakše faktorizuje. Da bi se trinom ovog oblika mogao faktorizovati, mora ispunjavati sljedeće kriterije:
- Koeficijent prvog člana mora biti 1.
- Prvi član mora biti varijabla na kvadrat.
- Drugi član ima istu varijablu, ali nije na kvadrat (ima eksponent 1).
- Koeficijent drugog člana može biti pozitivan ili negativan.
- Treći pojam je broj koji nije direktno povezan s prethodnim.
Primjer ove faktorizacije bi bio sljedeći trinom:
x2 +9x +14
Da biste to faktorirali, slijedite ovaj proces:
- Trinom razlažemo na dva binoma.
- Prvi član svakog binoma je kvadratni korijen prvog člana trinoma (u ovom slučaju, “x”).
- Predznaci binoma se dodeljuju prema drugoj i trećoj količini trinoma (u ovom slučaju pozitivno).
- Tražimo dva broja koja kada se pomnože daju 14, a kada se saberu daju 9 (opcije su 7 i 2).
Na ovaj način, faktorisani trinom je:
(x+7)(x+2)
Dodatne metode: Faktorska teorema i Ruffinijevo pravilo
El faktor teorema kaže da je polinom djeljiv polinomom oblika (x – a) ako je, vrednovanjem originalnog polinoma za x = a, rezultat 0. Ova teorema je korisna za pronalaženje korijena polinoma i čini faktoring lakšim. Često se koristi u kombinaciji sa Ruffini pravilo, pojednostavljena metoda za izvođenje polinomskih dijeljenja.
Ovi alati su posebno korisni kada se radi s polinomima stepena 3 ili više, gdje nije moguće primijeniti jednostavne metode kao što su trinom savršenog kvadrata ili značajni proizvodi.
Konačno, važno je napomenuti da se svi polinomi ne mogu lako rastaviti na faktore. U nekim slučajevima, potrebno je pribjeći naprednijim metodama ili numeričkim tehnikama kako bi se pronašli korijeni polinoma. Međutim, većina primjera koji se nalaze u osnovnoj algebri može se riješiti pomoću ovih alata.
Faktoring je moćan alat u algebri jer vam omogućava da pojednostavite složene izraze i efikasnije rješavate jednadžbe. Savladavanjem različitih metoda faktoringa polinoma, možemo primijeniti brža i učinkovitija rješenja za širok spektar problema.