Pozivi milenijumski problemi Postoji sedam matematičkih problema koje postavlja Institut za matematiku Clay 2000. godine, kao izazov matematičkoj zajednici. Obećana nagrada je milion dolara za svaki od ovih problema ako su riješeni. Međutim, do danas je demonstrirana samo jedna od njih. Ovi problemi se smatraju među najsloženijima u trenutnoj matematici, a njihovo rješavanje bi moglo predstavljati značajan napredak ne samo u matematici, već iu srodnim oblastima kao što su fizika, računarstvo i kriptografija.
Koji su milenijumski problemi?
u milenijumski problemi To su niz pretpostavki ili matematičkih iskaza za koje je potvrđeno da su u skladu s poznatim dokazima, ali rješenje još nije pronađeno. rigorozni matematički dokaz to ih potvrđuje. Rješavanje jednog od ovih problema uključuje ne samo dubinsko razumijevanje izjave, već i pokazivanje njene istinitosti na čvrstoj matematičkoj osnovi. O tome svjedoči i činjenica da je do sada riješen samo jedan od ovih problema poteškoća od njih.
El Institut za matematiku Clay postavio ove probleme kako bi promovirao napredak matematičkog znanja. Ako se problem riješi, Institut nudi ne samo prestiž rješavanja nekih od najsloženijih pitanja moderne matematike, već i nagradu od milion dolara. Ukupno je prvobitno predloženo sedam izazova, od kojih je do sada samo jedan riješen. Pogledajmo u nastavku u čemu se sastoje ovi problemi.
Poincaréova pretpostavka
La Poincaréova pretpostavka To je jedini milenijumski problem koji je do danas riješen. Predložio ga je francuski matematičar Henri Poincaré 1904. godine i postavio hipotezu u oblasti topologija, vezano za karakterizaciju trodimenzionalne sfere. Pretpostavka kaže da svaka trodimenzionalna mnogostrukost koja je jednostavno povezana mora biti homeomorfna trodimenzionalnoj sferi.
Pretpostavku je konačno riješio ruski matematičar Grigory Perelman 2002. godine, koji je objavio svoj dokaz na nekonvencionalan način: objavio ga je na internetu umjesto da ga podnese naučnom časopisu. Iako je u početku postojao skepticizam prema njegovom pristupu, njegov rad su potvrdili drugi matematičari i 2006. Fields medal. Međutim, Perelman je odbio i nagradu i milion dolara koje je ponudio Clay Institut.
P naspram NP
Jedan od najpoznatijih problema teorija računarstva se zove P naspram NP. Ova matematička zagonetka postavlja pitanje da li se svi problemi koji se mogu brzo provjeriti mogu također brzo riješiti. U formalnijim terminima, problem je definirati da li je P (skup problema koji se može riješiti u polinomskom vremenu) jednak NP (skup problema čiji se rezultati mogu provjeriti u polinomskom vremenu).
Rješavanje ovog problema imalo bi revolucionarne implikacije u nekoliko polja, uključujući kriptografija, u veštačka inteligencija I to optimizacija. Kada bi P bilo jednako NP, mnogi zadaci koji su danas enormno komplikovani za računare, kao što je dešifrovanje lozinki kriptografija ili rješavanje komplikovanih problema optimizacije, može se obaviti u mnogo kraćem vremenu.
Hodgeova pretpostavka
La Hodgeova pretpostavka nastaje u oblasti algebarska geometrija I to algebarska topologija. Uopšteno govoreći, on kaže da za kompleksnu projektivnu algebarsku raznolikost, određeni ciklusi koji se pojavljuju u de Rham kohomologiji odgovaraju sa algebarske klase podvrsta. Ovi algebarski ciklusi bi bili racionalne linearne kombinacije algebarskih podmnoževina.
Jedan od najvećih izazova za ovu pretpostavku je to što se nalazi u polju koje uključuje obje discipline, a alati neophodni za njegovo rješavanje možda ne pripadaju isključivo algebarsko polje o diferencijal, ali zahtijevaju mnogo poprečnije i složenije tehnike.
Riemannova hipoteza
Postavio 1859. godine njemački matematičar Bernhard Riemann, ova hipoteza je jedan od najstarijih i najzagonetnijih matematičkih problema. The Riemannova hipoteza odnosi se na distribuciju primarni brojevi i navodi da sve netrivijalne nule Riemannove zeta funkcije imaju vrijednost 1/2 kao svoj realni dio.
Riemannova zeta funkcija ima vrlo blisku vezu s prostim brojevima, i ako se ova hipoteza dokaže, dublje razumijevanje distribucija prostih brojeva. Mnogi matematičari vjeruju da je hipoteza tačna, a izračunati su bilioni nula koje odgovaraju pretpostavci, ali do sada nije postignut potpuni dokaz.
Postojanje Yang-Millsa i masovni skok
La Yang-Mills teorija To je ključni dio fizike čestica i kvantne teorije polja. Prvobitno je strukturiran da modelira elektromagnetno polje a kasnije je primijenjen na kvantnu hromodinamiku, koja opisuje interakcije između kvarkova i gluona u atomskom jezgru. Matematički problem leži u demonstriranju postojanja i rigorozne validnosti Yang-Mills jednadžbi i razumijevanju kako se jednačina generiše. maseni jaz.
Fenomen masenog jaza odnosi se na to zašto čestice bez mase poput gluona u svom klasičnom obliku dobijaju konačnu masu u kvantnoj teoriji. Iako su do sada izvedene simulacije na superkompjuterima koje podržavaju pretpostavku, rigorozni matematički dokaz ostaje nedostižan.
Navier-Stokesove jednadžbe
u Navier-Stokesove jednadžbe su skup jednadžbi koje opisuju kretanje tečnosti kao što su tečnosti i gasovi. Formulisane u 19. veku, ove jednačine su fundamentalne za razumevanje dinamike fluida, od strujanja vazduha koji utiču na avione do vremenskih obrazaca i okeanskih struja. Međutim, the složenost ovih jednačina nije dozvolio matematičarima da u potpunosti razumiju određena ponašanja, kao što je formiranje turbulencije ili prijelaz sa laminarnih tokova na turbulentne tokove.
Matematički izazov se sastoji u demonstriranju, pod određenim početnim uslovima, da li se glatko rješenje (tj. bez singulariteta) Navier-Stokesovih jednačina može održati tokom vremena, ili se, naprotiv, javljaju singularnosti koje utiču na njegov kontinuitet.
Birch i Swinnerton-Dyer-ove pretpostavke
Ovo pogodi, koji su predložili engleski matematičari Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer 1960-ih se bavi racionalnim rješenjima eliptične krive. Eliptičke krive su algebarski objekti koji se, u svojoj najjednostavnijoj verziji, mogu vizualizirati kao linije u ravni, a teorija brojeva povezuje niz aritmetičkih svojstava sa ovim krivuljama.
Pretpostavka sugerira da postoji način da se odredi da li eliptična kriva ima konačan ili beskonačan broj racionalnih rješenja, na osnovu određenih svojstava njenih L funkcija. Rješavanje ovog problema bi uključivalo ključni napredak u oblastima kao što je kriptografija, jer su eliptične krive fundamentalne u mnogim modernim sistemima šifriranja.
Rješavanje bilo kojeg od ovih problema bilo bi dostignuće bez presedana i transformisalo bi matematiku, kao i ponudilo bogate finansijske nagrade i vječne akademske zasluge.